Задача №10421

Найдите $\mathrm{tg}\alpha \text{,}$ если $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{17}}$ и $270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }\text{.}$

Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\text{.}$ По условию $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{17}}\text{,}$ поэтому

Отсюда $\sin \alpha =\pm \sqrt{\frac{16}{17}}=\pm \frac{4}{\sqrt{17}}\text{.}$

Учитывая, что угол $\alpha$ находится в интервале $270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$ (четвёртая четверть), синус в этой четверти отрицателен. Следовательно,

Тангенс равен отношению синуса к косинусу:

Ответ: $\mathrm{tg}\alpha =-4\text{.}$