Задача №10419

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому:
1. $AC\perp BD\text{,}$ следовательно, треугольник $AOB$ — прямоугольный ($\angle AOB=90^{\circ }$).
2. $AO=\frac{AC}{2}=\frac{25}{2}=12,5\text{.}$

Площадь ромба выражается через произведение его диагоналей по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD$$

Подставим известные значения площади $S=125$ и диагонали $AC=25\text{:}$

$$125=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot BD\Rightarrow 250=25\cdot BD\Rightarrow BD=10$$

Найдём длину отрезка $BO\text{:}$

$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{10}{2}=5$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ тангенс угла $BAC$ (который равен углу $BAO$) равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{5}{12,5}=0,4.$$