Задача №10416

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция с основаниями $BC=3$ и $AD=5\text{.}$ Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, то есть $\angle A=\angle B=90^{\circ }\text{.}$

Поскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ }\text{,}$ острый угол трапеции $\angle D$ и тупой угол $\angle C$ связаны соотношением:

$$\angle C+\angle D=180^{\circ }$$

Один из углов равен $135^{\circ }$ — это тупой угол трапеции ($\angle C$). Тогда острый угол равен:

$$\angle D=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$$

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к большему основанию $AD\text{.}$ Четырёхугольник $ABCH$ является прямоугольником, поэтому:

$$AH=BC=3$$ $$CH=AB$$

Найдём длину отрезка $HD\text{:}$

$$HD=AD-AH=5-3=2$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD=90^{\circ }$). Так как $\angle D=45^{\circ }\text{,}$ то угол $\angle HCD$ равен:

$$\angle HCD=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$$

Следовательно, треугольник $CHD$ является равнобедренным, откуда:

$$CH=HD=2$$

Меньшая боковая сторона трапеции $AB$ равна высоте $CH\text{:}$

$$AB=2$$

Ответ: 2