Задача №10415 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC внешний угол при основании равен 150^, а медиана BM, проведённая к основанию, равна 40. Найдите боковую сторону треугольника ABC.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, в котором AB = BC. 1. Внутренний угол C треугольника и смежный с ним внешний угол при основании в сумме составляют 180^. Следовательно: C = 180^ - 150^ = 30^. 2. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, углы при основании равны: A = C = 30^. 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Значит, BM AC, и треугольник BCM является прямоугольным с прямым углом BMC = 90^. 4. В прямоугольном треугольнике BCM катет BM лежит против угла C = 30^. По свойству прямоугольного треугольника, этот катет равен половине гипотенузы BC: BM = (1)/(2) BC. Отсюда находим боковую сторону BC: BC = 2 * BM = 2 * 40 = 80.

80