Задача №10414

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ косинус острого угла $B$ равен отношению прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos B=\frac{BC}{AB}.$$

Отсюда найдём катет $BC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \cos B=15\cdot 0,8=12.$$

По теореме Пифагора найдём второй катет $AC\text{:}$

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 12=54.$$

Ответ: 54.