Задача №10409

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $COB$ равен $120^{\circ }\text{,}$ $AC=34\text{.}$ Найдите диаметр окружности.

Точки $A\text{,}$ $B$ — концы диаметра, точка $C$ лежит на окружности, поэтому вписанный угол $ACB$ опирается на диаметр и равен $90^{\circ }\text{.}$

Центральный угол $COB$ равен $120^{\circ }$ и опирается на дугу $CB\text{.}$ Вписанный угол $CAB$ опирается на ту же дугу, значит он вдвое меньше центрального:

В прямоугольном треугольнике $ACB$ с прямым углом при вершине $C\text{:}$

Катет $AC$ лежит против угла $ABC=30^{\circ }\text{,}$ а гипотенуза — это диаметр $AB\text{.}$ Катет, лежащий против угла $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы, поэтому:

Ответ: 68.