На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120^, AC = 34. Найдите диаметр окружности.

Точки A, B — концы диаметра, точка C лежит на окружности, поэтому вписанный угол ACB опирается на диаметр и равен 90^. Центральный угол COB равен 120^ и опирается на дугу CB. Вписанный угол CAB опирается на ту же дугу, значит он вдвое меньше центрального: CAB = (120^)/(2) = 60^. В прямоугольном треугольнике ACB с прямым углом при вершине C: ABC = 180^ - 90^ - 60^ = 30^. Катет AC лежит против угла ABC = 30^, а гипотенуза — это диаметр AB. Катет, лежащий против угла 30^, равен половине гипотенузы, поэтому: AC = (1)/(2) AB => AB = 2 * AC = 2 * 34 = 68. Ответ: 68.

68