Задача №10408

Поскольку $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O\text{,}$ отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, следовательно, $OB=OC\text{.}$

Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC\text{.}$ Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

$$\angle OBC=\angle OCB=\angle ACB=32^{\circ }.$$

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{.}$ Найдем угол $BOC\text{:}$

$$\angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ }-(32^{\circ }+32^{\circ })=180^{\circ }-64^{\circ }=116^{\circ }.$$

Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными, так как прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Вертикальные углы равны, следовательно:

$$\angle AOD=\angle BOC=116^{\circ }.$$