Задача №10403

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }\text{,}$ значит $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты.

Найдём синус угла $A$ из основного тригонометрического тождества:

$$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-0,25^2}=\sqrt{1-0,0625}=\sqrt{0,9375}=\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Катет $BC$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому $\sin A=\frac{BC}{AB}\text{,}$ откуда гипотенуза:

$$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{12}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{48}{\sqrt{15}}.$$

Катет $AC$ прилежит к углу $A\text{:}$

$$AC=AB\cdot \cos A=\frac{48}{\sqrt{15}}\cdot 0,25=\frac{12}{\sqrt{15}}.$$

Высота $CH$ опущена из вершины прямого угла на гипотенузу. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ с прямым углом при $H$ и углом $A$ при вершине $A\text{.}$ Тогда:

$$CH=AC\cdot \sin A=\frac{12}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{12}{4}=3.$$

Ответ: 3