Перейти к основному содержимому

Математика
Математика (база) ЕГЭ
Задачи
№10402

Задача №10402

Средне

Задача #10402

Треугольники и их элементы•1 балл

Задача №10402, тип №12 Планиметрия, Математика (база) ЕГЭ, изображение задачи.

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Задача по теме "Треугольники и их элементы"

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

1

Раздел

Геометрия

Тип задачи№12 Планиметрия

ТемаТреугольники и их элементы

ИсточникОткрытый банк задач ФИПИ

Откуда задача

ФИПИ

Теги

Окружность, вписанная в треугольникПлощадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектораТреугольник

В треугольнике $A B C$ известно, что $A B = B C,$ медиана $B M$ равна 4. Площадь треугольника $A B C$ равна $85 .$ Найдите длину стороны $A B .$

Поскольку в треугольнике $A B C$ стороны $A B = B C,$ он является равнобедренным с основанием $A C .$

В равнобедренном треугольнике медиана $B M,$ проведённая к основанию, также является его высотой, следовательно, $B M ⊥ A C .$

Площадь треугольника $A B C$ вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B M .

Подставим известные значения площади $S = 85$ и медианы $B M = 4 :$

85 = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot 4.

85 = 2 \cdot A C \Rightarrow A C = 45 .

Поскольку $B M$ — медиана, точка $M$ делит сторону $A C$ пополам, то есть:

A M = \frac{A C}{2} = \frac{4 5}{2} = 25 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B M$ (угол $A M B$ равен $9 0^{\circ}$ ). По теореме Пифагора:

A B^{2} = A M^{2} + B M^{2} .

A B^{2} = (25)^{2} + 4^{2} .

A B^{2} = 20 + 16 = 36.

Отсюда получаем длину стороны $A B :$

A B = 36 = 6.

Ответ: 6