Задача №10399

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=24\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию их сумма равна $120^{\circ }\text{,}$ значит:

2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. У ромба все стороны равны, значит, $AB=BC=CD=DA=24\text{.}$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB=AD=24\text{,}$ то есть треугольник равнобедренный.

4. Так как в равнобедренном треугольнике $ABD$ угол при вершине $\angle A=60^{\circ }\text{,}$ то углы при основании также равны:

5. Таким образом, все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ следовательно, он является равносторонним. Отсюда $BD=AB=AD=24\text{.}$

Ответ: 24