Задача №10390 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 12, tg BAC = (sqrt(13))/(6). Найдите длину стороны AB.

Пусть BH — высота треугольника ABC, опущенная на основание AC. Так как треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (AB = BC), то высота BH является также и медианой. Следовательно: AH = HC = (AC)/(2) = (12)/(2) = 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ( AHB = 90^). Тангенс угла BAC (или BAH) равен отношению противолежащего катета BH к прилежащему катету AH: tg BAC = (BH)/(AH). Подставим известные значения: (sqrt(13))/(6) = (BH)/(6) => BH = sqrt(13). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABH: AB^2 = AH^2 + BH^2. AB^2 = 6^2 + (sqrt(13))^2 = 36 + 13 = 49. AB = sqrt(49) = 7. Ответ: 7.

7