Задача №10390

Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ опущенная на основание $AC\text{.}$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ ($AB=BC$), то высота $BH$ является также и медианой. Следовательно:

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). Тангенс угла $BAC$ (или $\angle BAH$) равен отношению противолежащего катета $BH$ к прилежащему катету $AH\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BH}{AH}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{\sqrt{13}}{6}=\frac{BH}{6}\Rightarrow BH=\sqrt{13}.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH\text{:}$

$$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2.$$ $$A{B}^2=6^2+(\sqrt{13}{)}^2=36+13=49.$$ $$AB=\sqrt{49}=7.$$

Ответ: 7.