Задача №10388

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^{\circ }\text{.}$ Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам и равна 15. Найдите длину стороны $AB\text{.}$

Так как отрезок $BM$ является медианой и делит угол $B$ пополам (то есть является биссектрисой), треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{.}$

Следовательно, $AB=BC\text{,}$ а медиана $BM$ также является высотой треугольника $ABC\text{,}$ то есть $BM\perp AC$ и $\angle AMB=90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM\text{:}$

1. Так как $BM$ — биссектриса угла $B\text{,}$ угол $\angle ABM=\frac{\angle B}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{.}$
2. Найдём угол $\angle A\text{:}$

3. В прямоугольном треугольнике $ABM$ против угла $\angle A=30^{\circ }$ лежит катет $BM\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, длина этого катета равна половине гипотенузы $AB\text{:}$

Отсюда находим длину стороны $AB\text{:}$