Задача №10388 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120^. Медиана BM делит угол B пополам и равна 15. Найдите длину стороны AB.

Так как отрезок BM является медианой и делит угол B пополам (то есть является биссектрисой), треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Следовательно, AB = BC, а медиана BM также является высотой треугольника ABC, то есть BM AC и AMB = 90^. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM: 1. Так как BM — биссектриса угла B, угол ABM = ( B)/(2) = (120^)/(2) = 60^. 2. Найдём угол A: A = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^. 3. В прямоугольном треугольнике ABM против угла A = 30^ лежит катет BM. По свойству прямоугольного треугольника, длина этого катета равна половине гипотенузы AB: BM = (1)/(2) AB. Отсюда находим длину стороны AB: AB = 2 * BM = 2 * 15 = 30.

30