Задача №10384

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^{\circ }\text{,}$ $AB=14\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

Сумма смежных углов равна $180^{\circ }\text{.}$ Найдем внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$ и $C\text{:}$

Так как $\angle BAC=\angle BCA=30^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{,}$ откуда $BC=AB=14\text{.}$

В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведенная к основанию, также является высотой. Значит, $BK\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle BKA=90^{\circ }$).

В прямоугольном треугольнике $ABK$ угол $\angle BAK=30^{\circ }\text{.}$ Катет $BK$ лежит напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ следовательно, он равен половине гипотенузы $AB\text{:}$