Задача №10384 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150^, AB = 14. Найдите длину биссектрисы BK.

Сумма смежных углов равна 180^. Найдем внутренние углы треугольника ABC при вершинах A и C: BAC = 180^ - 150^ = 30^. BCA = 180^ - 150^ = 30^. Так как BAC = BCA = 30^ , треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC , откуда BC = AB = 14 . В равнобедренном треугольнике биссектриса BK , проведенная к основанию, также является высотой. Значит, BK AC , и треугольник ABK — прямоугольный ( BKA = 90^ ). В прямоугольном треугольнике ABK угол BAK = 30^ . Катет BK лежит напротив угла в 30^ , следовательно, он равен половине гипотенузы AB : BK = (1)/(2) AB = (1)/(2) * 14 = 7.

7