Задача №10379

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=8$ и $AD=14\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что треугольник $ABE$ равнобедренный. Найдите $ED\text{.}$

1. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB=8$ и $BC=AD=14\text{.}$

2. Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, угол $B$ равен $90^{\circ }\text{.}$ Треугольник $ABE$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике гипотенуза $AE$ всегда длиннее любого из катетов, поэтому для того чтобы треугольник был равнобедренным, его катеты должны быть равны: $AB=BE\text{.}$

3. Таким образом, $BE=AB=8\text{.}$ Так как $8<14\text{,}$ точка $E$ действительно лежит на стороне $BC\text{.}$

4. Вычислим длину отрезка $EC\text{:}$

$EC=BC-BE=14-8=6\text{.}$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ (угол $C$ равен $90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

Ответ: 10.