Задача №10378

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Пусть горизонтальный разрез делит вертикальную сторону исходного прямоугольника на отрезки длиной $a$ (верхний) и $b$ (нижний), а вертикальный разрез делит горизонтальную сторону на отрезки длиной $c$ (левый) и $d$ (правый).

Тогда образуются четыре прямоугольника со следующими сторонами и периметрами:

1. Левый верхний прямоугольник со сторонами $a$ и $c\text{.}$ Его периметр равен $P_1=2(a+c)=12\text{.}$
2. Правый верхний прямоугольник со сторонами $a$ и $d\text{.}$ Его периметр равен $P_2=2(a+d)=15\text{.}$
3. Правый нижний прямоугольник со сторонами $b$ и $d\text{.}$ Его периметр равен $P_3=2(b+d)=16\text{.}$
4. Левый нижний прямоугольник со сторонами $b$ и $c\text{.}$ Его периметр равен $P_4=2(b+c)\text{.}$

Заметим, что сумма периметров левого верхнего и правого нижнего прямоугольников равна:

$P_1+P_3=2(a+c)+2(b+d)=2a+2b+2c+2d$

Сумма периметров правого верхнего и левого нижнего прямоугольников равна:

$P_2+P_4=2(a+d)+2(b+c)=2a+2b+2c+2d$

Таким образом, суммы периметров противоположных по диагонали прямоугольников равны:

$P_1+P_3=P_2+P_4$

Подставим известные значения:

$12+16=15+P_4$

$28=15+P_4$

$P_4=13$

Ответ: 13.