Задача №10376

В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\angle ACD=1^{\circ }\text{.}$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD\text{.}$

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

По условию задачи диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ ($AC=2AB$), следовательно:

Из этого получаем, что $OC=AB\text{.}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны, то есть $CD=AB\text{.}$ Таким образом, $OC=CD\text{.}$

Рассмотрим треугольник $OCD\text{.}$ Так как $OC=CD\text{,}$ этот треугольник является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }\text{.}$ По условию $\angle ACD=1^{\circ }$ (то есть $\angle OCD=1^{\circ }$). Найдем угол $\angle COD\text{:}$

Угол между пересекающимися прямыми (диагоналями) определяется как меньший из образованных углов (не превосходящий $90^{\circ }$). Поскольку $89,5^{\circ }<90^{\circ }\text{,}$ угол между диагоналями параллелограмма равен $89,5^{\circ }\text{.}$

Ответ: $89,5^{\circ }$