Задача №10366

Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{,}$ а его периметр равен 48. Найдите меньшую диагональ ромба.

Пусть $a$ — длина стороны ромба.

1. Периметр ромба равен $48\text{.}$ Так как у ромба все стороны равны, то длина его стороны равна:

2. Сумма двух углов ромба равна $120^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма соседних углов ромба составляет $180^{\circ }\text{,}$ данные два угла не могут быть соседними. Значит, они являются противоположными (острыми). Каждый из этих углов равен:

3. Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов и делит ромб на два треугольника. В треугольнике, образованном меньшей диагональю и двумя сторонами ромба, стороны равны стороны ромба (то есть $12$), а угол между ними равен $60^{\circ }\text{.}$ Такой треугольник является равнобедренным с углом $60^{\circ }$ при вершине, а следовательно, он равносторонний.

Таким образом, длина меньшей диагонали ромба равна длине его стороны, то есть $12\text{.}$