Задача №10365

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ значит, это средняя линия треугольника, параллельная основанию $AC\text{.}$ По свойству средней линии:

$$MN=\frac{AC}{2}.$$

Тогда:

$$AC=2\cdot MN=2\cdot 12=24.$$

В равнобедренном треугольнике медиана $BK\text{,}$ проведённая к основанию, является также и высотой, поэтому $BK\perp AC\text{.}$ Точка $K$ — середина основания, значит:

$$AK=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ с прямым углом при вершине $K\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{K}^2+B{K}^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: 13.