Задача №10364

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковые стороны равны, то есть $AB=BC\text{.}$

Высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, делит угол $ABC$ пополам, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также биссектрисой.

Следовательно, угол $ABK$ равен:

$$\angle ABK=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (где $\angle AKB=90^{\circ }$). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ откуда находим угол $BAK\text{:}$

$$\angle BAK=90^{\circ }-\angle ABK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы. Катет $BK$ лежит против угла $\angle BAK=30^{\circ }\text{,}$ а гипотенузой является сторона $AB\text{.}$ Таким образом:

$$BK=\frac{1}{2}AB⟹AB=2\cdot BK.$$

Подставляем значение $BK=21\text{:}$

$$AB=2\cdot 21=42.$$

Ответ: $42\text{.}$