Задача №10362

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $AOB$ (угол $\angle AOB=90^{\circ }$) катет $AO$ равен половине диагонали $AC\text{:}$

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{40}{2}=20.$$

Площадь ромба $S$ выражается через его диагонали формулой:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD.$$

Подставим известные значения, чтобы найти диагональ $BD\text{:}$

$$480=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot BD\Rightarrow 20\cdot BD=480\Rightarrow BD=24.$$

Тогда катет $BO$ равен половине диагонали $BD\text{:}$

$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ тангенс угла $BAC$ (который совпадает с углом $BAO$) равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{12}{20}=0,6.$$

Ответ: $0,6$