Задача №10356

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей через $O\text{.}$

Тогда $AC\perp BD\text{,}$ причём $O$ — середина обеих диагоналей.

Площадь ромба выражается через диагонали:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD.$$

Подставим известные значения $S=315$ и $AC=30\text{:}$

$$315=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot BD\Rightarrow 315=15\cdot BD\Rightarrow BD=21.$$

Найдём отрезки от центра до вершин:

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{30}{2}=15,BO=\frac{BD}{2}=\frac{21}{2}=10,5.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ с прямым углом при вершине $O\text{.}$ Угол $BAC$ — это острый угол при вершине $A\text{,}$ для которого $BO$ — противолежащий катет, а $AO$ — прилежащий катет. Тогда:

$$\tan \angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{10,5}{15}=0,7.$$

Ответ: 0,7