Задача №10351

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^{\circ }\text{,}$ $AB=12\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

1. Найдем внутренние углы $A$ и $C$ треугольника $ABC\text{.}$ Сумма смежных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому:

2. Так как два угла треугольника равны ($\angle A=\angle C=30^{\circ }$), треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC=12\text{.}$

3. Биссектриса $BK\text{,}$ проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой. Следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$ ($\angle AKB=90^{\circ }$).

4. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ лежит напротив угла $\angle A=30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, длина такого катета равна половине гипотенузы $AB\text{:}$ $BK=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{.}$

Ответ: 6