Задача №10349

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ ромба $ABCD\text{.}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

• $\angle AOB=90^{\circ }\text{;}$
• $AO=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{51}}{2}=\sqrt{51}\text{;}$
• $BO=\frac{BD}{2}=\frac{14}{2}=7\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB\text{.}$ По теореме Пифагора найдём сторону ромба $AB\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{(\sqrt{51}{)}^2+7^2}=\sqrt{51+49}=\sqrt{100}=10$$

Синус угла $BAC$ (который совпадает с углом $BAO$ в прямоугольном треугольнике $AOB$) равен отношению противолежащего катета $BO$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin \angle BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{7}{10}=0,7$$