Задача №10342

Поскольку отрезок $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $ACB\text{,}$ опирающийся на него, является прямым, то есть $\angle ACB=90^{\circ }\text{.}$

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB\text{.}$

Длина диаметра $AB$ равна удвоенному радиусу окружности:

$$AB=2R=2\cdot 3=6.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC\text{:}$

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2.$$

Подставим известные значения:

$$6^2=(2\sqrt{5}{)}^2+B{C}^2,$$ $$36=20+B{C}^2,$$ $$B{C}^2=16,$$ $$BC=4.$$