Задача №10341

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из этого следует:

1. Треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB=90^{\circ }$).
2. $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{4\sqrt{39}}{2}=2\sqrt{39}\text{.}$
3. $BO=\frac{1}{2}BD=\frac{20}{2}=10\text{.}$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $AOB\text{,}$ чтобы найти гипотенузу $AB\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{{\left(2\sqrt{39}\right)}^2+10^2}=\sqrt{4\cdot 39+100}=\sqrt{156+100}=\sqrt{256}=16.$$

Синус угла $BAC$ (который равен углу $BAO$) в прямоугольном треугольнике $AOB$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin \angle BAC=\frac{BO}{AB}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}=0,625.$$