Задача №10334

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ также является его высотой. Следовательно, треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$ ($\angle AMB=90^{\circ }$).

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM\text{:}$

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$$

Подставим известные значения $AB=10$ и $BM=\sqrt{19}\text{:}$

$$\begin{array}{rl}10^2& =A{M}^2+(\sqrt{19}{)}^2\\ 100& =A{M}^2+19\\ A{M}^2& =100-19=81\\ AM& =9\end{array}$$

Косинус угла $\angle BAC$ (который равен углу $\angle BAM$) в прямоугольном треугольнике $ABM$ равен отношению прилежащего катета $AM$ к гипотенузе $AB\text{:}$

Ответ:

$$\cos \angle BAC=\frac{AM}{AB}=\frac{9}{10}=0,9$$