Задача №10333

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ ромба $ABCD\text{.}$

По свойствам ромба:

• диагонали перпендикулярны ($AC\perp BD$);
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• диагональ $AC$ является биссектрисой угла $A\text{,}$ следовательно, $\angle BAC=\angle BAO\text{.}$

Площадь ромба выражается через его диагонали формулой:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD$$

Подставим известные значения:

$$490=\frac{1}{2}\cdot 35\cdot BD⟹BD=\frac{490\cdot 2}{35}=28$$

Найдем длины отрезков $AO$ и $BO\text{:}$

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{35}{2}=17,5$$ $$BO=\frac{BD}{2}=\frac{28}{2}=14$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). Тангенс угла $BAC$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO\text{:}$

$$\tan \angle BAC=\tan \angle BAO=\frac{BO}{AO}=\frac{14}{17,5}=\frac{140}{175}=0,8$$

Ответ: $0,8$