Задача №10332

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC\text{,}$ следовательно, боковые стороны $AB=BC\text{.}$

1. Найдем внутренний угол при основании треугольника $ABC\text{.}$ Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C=30^{\circ }$$

2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ а треугольник $ABM$ является прямоугольным ($\angle AMB=90^{\circ }$).

3. В прямоугольном треугольнике $ABM$ $\angle A=30^{\circ }\text{.}$ Катет $BM\text{,}$ лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BM=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BM$$

Подставим известное значение $BM=51\text{:}$

$$AB=2\cdot 51=102$$

Ответ: 102