Задача №10328

Пусть $ABCD$ — данный ромб, в котором сумма двух углов равна $120^{\circ }\text{,}$ а периметр равен $76\text{.}$

1. Сумма соседних углов ромба равна $180^{\circ }\text{.}$ Поскольку сумма двух углов из условия равна $120^{\circ }\text{,}$ эти два угла не могут быть соседними. Значит, это противоположные углы ромба. Противоположные углы ромба равны, следовательно, каждый из них равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Пусть $\angle A=60^{\circ }\text{.}$

2. Периметр ромба равен $76\text{.}$ У ромба все четыре стороны равны, поэтому длина каждой стороны равна:

$$AB=\frac{76}{4}=19.$$

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{,}$ образованный сторонами $AB\text{,}$ $AD$ и меньшей диагональю $BD\text{.}$ Так как $AB=AD\text{,}$ то треугольник $ABD$ — равнобедренный с углом при вершине $\angle A=60^{\circ }\text{.}$ Следовательно, углы при основании равны:

$$\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Таким образом, треугольник $ABD$ является равносторонним. Отсюда получаем, что длина меньшей диагонали $BD$ равна длине стороны ромба:

$$BD=AB=19.$$