В трапеции ABCD известно, что AD = 5, BC = 4, а её площадь равна 81. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №10324: Планиметрия

Площадь трапеции $A B C D$ равна сумме площадей треугольников $A B C$ и $A C D :$

S_{A B C D} = S_{A B C} + S_{A C D}

Оба треугольника имеют общую высоту $h,$ равную расстоянию между параллельными прямыми $B C$ и $A D .$

Площадь треугольника $A B C$ выражается как:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot h

Площадь всей трапеции выражается как:

S_{A B C D} = \frac{A D + B C}{2} \cdot h

Отношение площади треугольника $A B C$ к площади трапеции $A B C D$ равно:

\frac{S _{A B C}}{S _{A B C D}} = \frac{( 1/2 ) \cdot B C \cdot h}{( 1/2 ) \cdot ( A D + B C ) \cdot h} = \frac{B C}{A D + B C}

Подставим известные из условия значения $A D = 5,$ $B C = 4$ и $S_{A B C D} = 81 :$

\frac{S _{A B C}}{81} = \frac{4}{5 + 4}

\frac{S _{A B C}}{81} = \frac{4}{9}

Отсюда находим площадь треугольника $A B C :$

S_{A B C} = \frac{4}{9} \cdot 81 = 4 \cdot 9 = 36.