Задача №10323

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{,}$ высота $BH$ также является и медианой.

Таким образом, точка $H$ делит сторону $AC$ пополам:

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{25}{2}=12,5$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$$\mathrm{tg}A=\frac{BH}{AH}$$

Отсюда выразим и найдём высоту $BH\text{:}$

$$BH=AH\cdot \mathrm{tg}A=12,5\cdot \frac{8}{5}=\frac{25}{2}\cdot \frac{8}{5}=20$$

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения основания на высоту:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 20=250.$$

Ответ: $250$