Задача №10321

Внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$ и $C$ являются смежными с соответствующими внешними углами. Поскольку внешние углы при этих вершинах равны $150^{\circ }\text{,}$ найдём внутренние углы:

$$\angle A=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$ $$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$$

Так как $\angle A=\angle C=30^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC=16\text{.}$

В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является его высотой. Следовательно, $BK\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$ ($\angle AKB=90^{\circ }$).

В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ лежит против угла $\angle A=30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы:

$$BK=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 16=8$$