В трапеции ABCD известно, что AD = 7, BC = 1, а её площадь равна 96. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №10316: Планиметрия

Диагональ $A C$ делит трапецию $A B C D$ на два треугольника: $A B C$ и $A C D .$

Высота обоих треугольников, опущенная на прямые, содержащие основания $B C$ и $A D$ соответственно, равна высоте трапеции $h .$

Площадь треугольника $A B C$ равна:

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot h

Площадь треугольника $A C D$ равна:

S_{A C D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot h

Тогда площади этих треугольников относятся как длины их оснований:

\frac{S _{A B C}}{S _{A C D}} = \frac{B C}{A D} = \frac{1}{7}

Пусть $S_{A B C} = x,$ тогда $S_{A C D} = 7 x .$ Площадь всей трапеции равна сумме площадей треугольников $A B C$ и $A C D :$

S_{A B C D} = S_{A B C} + S_{A C D} = x + 7 x = 8 x

По условию, площадь трапеции равна 96:

8 x = 96 \Rightarrow x = 12

Следовательно, площадь треугольника $A B C$ равна 12.

Ответ: $12 .$