Задача №10314 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 10, AC = 12. Найдите площадь треугольника ABC.

Проведём высоту BH к основанию AC. Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), высота BH также является медианой. Следовательно: AH = HC = (AC)/(2) = (12)/(2) = 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол H равен 90^). По теореме Пифагора: AB^2 = AH^2 + BH^2. Отсюда найдём высоту BH: BH = sqrt(AB^2 - AH^2) = sqrt(10^2 - 6^2) = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8. Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле: S = (1)/(2) * AC * BH = (1)/(2) * 12 * 8 = 48. Ответ: 48.

48