Задача №10310

Основания равнобедренной трапеции равны $9$ и $21\text{,}$ боковая сторона равна $10\text{.}$ Найдите высоту трапеции.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ где $AD=9$ (меньшее основание), $BC=21$ (большее основание) и боковыми сторонами $AB=CD=10\text{.}$

Проведём высоты $AH$ и $DK$ из вершин $A$ и $D$ на основание $BC\text{;}$ точки $H$ и $K$ лежат на $BC\text{.}$ Тогда $BH$ и $KC$ — проекции боковых сторон на основание.

В равнобедренной трапеции $BH=KC\text{.}$ Обозначим $BH=x\text{.}$ Из прямоугольника $AHKD$ следует, что $HK=AD=9\text{.}$

Основание $BC$ состоит из отрезков: $BC=BH+HK+KC=x+9+x=2x+9\text{.}$ По условию $BC=21\text{,}$ поэтому:

В прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB=10\text{,}$ катет $BH=6\text{.}$ По теореме Пифагора находим высоту $AH\text{:}$

Таким образом, высота трапеции равна $8\text{.}$

Ответ: 8