Задача №10306 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150^, AB = 54. Найдите длину биссектрисы BK.

1. Найдем внутренние углы треугольника ABC при вершинах A и C. Так как сумма смежных углов равна 180^, получаем: A = 180^ - 150^ = 30^. C = 180^ - 150^ = 30^. 2. Так как A = C = 30^ , треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, а значит AB = BC = 54. 3. В равнобедренном треугольнике биссектриса BK, проведенная к основанию, также является медианой и высотой. Следовательно, BK AC и треугольник ABK — прямоугольный ( AKB = 90^ ). 4. В прямоугольном треугольнике ABK катет BK лежит напротив угла A = 30^ . По свойству прямоугольного треугольника катет, лежащий напротив угла в 30^, равен половине гипотенузы: BK = (AB)/(2) = (54)/(2) = 27. Ответ: 27.

27