Задача №10306

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^{\circ }\text{,}$ $AB=54\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

1. Найдем внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$ и $C\text{.}$ Так как сумма смежных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ получаем:

2. Так как $\angle A=\angle C=30^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{,}$ а значит $AB=BC=54\text{.}$

3. В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведенная к основанию, также является медианой и высотой. Следовательно, $BK\perp AC$ и треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB=90^{\circ }$).

4. В прямоугольном треугольнике $ABK$ катет $BK$ лежит напротив угла $\angle A=30^{\circ }\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы:

Ответ: $27\text{.}$