Задача №10304

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB=BC\text{,}$ данный треугольник является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$

Медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой, поэтому $BM\perp AC\text{.}$

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM.$$

Подставим известные значения площади $S=18\sqrt{2}$ и высоты $BM=3\text{:}$

$$18\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 3,$$ $$18\sqrt{2}=1,5\cdot AC\Rightarrow AC=\frac{18\sqrt{2}}{1,5}=12\sqrt{2}.$$

Так как $BM$ — медиана, точка $M$ является серединой стороны $AC\text{:}$

$$AM=\frac{AC}{2}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (угол $M$ равен $90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2,$$ $$A{B}^2=(6\sqrt{2}{)}^2+3^2,$$ $$A{B}^2=36\cdot 2+9=72+9=81,$$ $$AB=\sqrt{81}=9.$$

Ответ: $9$