Задача №10300

Так как $AB$ — диаметр окружности с центром $O\text{,}$ то точки $A\text{,}$ $O$ и $B$ лежат на одной прямой.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, поэтому:

$$\angle AOC=180^{\circ }-\angle COB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$

Отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы окружности ($OA=OC=R$). Значит, треугольник $AOC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{.}$

Поскольку в равнобедренном треугольнике $AOC$ угол при вершине $\angle AOC=60^{\circ }\text{,}$ то углы при основании равны:

$$\angle OAC=\angle OCA=\frac{180^{\circ }-60^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Таким образом, все три угла треугольника $AOC$ равны $60^{\circ }\text{,}$ следовательно, треугольник $AOC$ является равносторонним.

Отсюда получаем, что радиус окружности равен стороне $AC\text{:}$

$$R=OA=AC=42.$$

Диаметр окружности $AB$ в два раза больше её радиуса:

$$AB=2R=2\cdot 42=84.$$

Ответ: 84