Задача №10294

Катет прямоугольного треугольника равен 12, одна из средних линий равна 2,5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b\text{,}$ а гипотенуза — $c\text{.}$ По условию, один из катетов равен 12, пусть $a=12\text{.}$

Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Таким образом, длины средних линий данного треугольника могут быть равны:

• $m_a=\frac{a}{2}=\frac{12}{2}=6\text{;}$
• $m_b=\frac{b}{2}\text{;}$
• $m_c=\frac{c}{2}\text{.}$

По условию, одна из средних линий равна 2,5. Поскольку $6\ne 2,5\text{,}$ эта средняя линия не может быть параллельна катету $a\text{.}$

Если бы средняя линия длиной 2,5 была параллельна гипотенузе $c\text{,}$ то гипотенуза была бы равна:

Однако в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов (в данном случае $c>a\text{,}$ то есть $c>12$). Значит, этот случай невозможен.

Следовательно, средняя линия длиной 2,5 параллельна второму катету $b\text{.}$ Тогда второй катет равен:

По теореме Пифагора найдём гипотенузу $c\text{:}$