Задача №10272

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^{\circ }\text{,}$ $AB=56\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

1. Найдем внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$ и $C\text{.}$ Так как сумма смежных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

2. Поскольку $\angle A=\angle C=30^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$ Отсюда следует, что боковые стороны равны:

3. Биссектриса $BK\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой. Следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$ ($\angle AKB=90^{\circ }$).

4. В прямоугольном треугольнике $ABK$ против угла $\angle A=30^{\circ }$ лежит катет $BK\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника данный катет равен половине гипотенузы $AB\text{:}$