Задача №10265

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция с основаниями $BC=5$ и $AD=9\text{,}$ в которой углы $A$ и $B$ — прямые.

Меньшей боковой стороной является сторона $AB\text{,}$ перпендикулярная основаниям (высота трапеции), так как наклонная боковая сторона $CD$ всегда больше высоты.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ }\text{.}$ Из условий задачи один из углов равен $135^{\circ }$ (это тупой угол $\angle C$). Тогда острый угол трапеции равен:

$$\angle D=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$$

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD\text{.}$ Четырехугольник $ABCH$ — прямоугольник, следовательно:

$$AH=BC=5$$ $$CH=AB$$

Найдём отрезок $HD\text{:}$

$$HD=AD-AH=9-5=4$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ (угол $CHD$ равен $90^{\circ }$). Так как $\angle D=45^{\circ }\text{,}$ второй острый угол равен:

$$\angle HCD=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$$

Следовательно, треугольник $CHD$ — равнобедренный, его катеты равны:

$$CH=HD=4$$

Поскольку $AB=CH\text{,}$ меньшая боковая сторона трапеции равна 4.

Ответ: 4