В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 45 , AC = 72 . Найдите BD .

Задача №10264: Планиметрия

Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм является ромбом.

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $A C$ и $B D .$

1. Найдём половину диагонали $A C :$

A O = \frac{A C}{2} = \frac{72}{2} = 36

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B O$ (угол $A O B = 9 0^{\circ},$ так как диагонали ромба перпендикулярны). По теореме Пифагора:

A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}

4 5^{2} = 3 6^{2} + B O^{2}

2025 = 1296 + B O^{2}

B O^{2} = 2025 - 1296 = 729

B O = 729 = 27

3. Диагональ $B D$ в два раза больше отрезка $B O :$

B D = 2 \cdot B O = 2 \cdot 27 = 54

Ответ: 54.