В треугольнике ABC сторона AC = 56, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

По условию задачи BM — медиана треугольника ABC, следовательно, точка M является серединой стороны AC. Вычислим длину отрезка AM: AM = MC = (AC)/(2) = (56)/(2) = 28. Рассмотрим треугольник BMC. По условию BC = BM, то есть треугольник BMC является равнобедренным с основанием MC. Поскольку BH — высота треугольника ABC, опущенная на сторону AC, отрезок BH также является высотой равнобедренного треугольника BMC, проведённой к его основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Значит, точка H — середина отрезка MC. Найдём длину отрезка MH: MH = (MC)/(2) = (28)/(2) = 14. Длина отрезка AH равна сумме длин отрезков AM и MH: AH = AM + MH = 28 + 14 = 42.

42