Задача №10263

В треугольнике $ABC$ сторона $AC=56\text{,}$ $BM$ — медиана, $BH$ — высота, $BC=BM\text{.}$ Найдите длину отрезка $AH\text{.}$

По условию задачи $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Вычислим длину отрезка $AM\text{:}$

Рассмотрим треугольник $BMC\text{.}$ По условию $BC=BM\text{,}$ то есть треугольник $BMC$ является равнобедренным с основанием $MC\text{.}$

Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ опущенная на сторону $AC\text{,}$ отрезок $BH$ также является высотой равнобедренного треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к его основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Значит, точка $H$ — середина отрезка $MC\text{.}$

Найдём длину отрезка $MH\text{:}$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$