Задача №10260

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=20$ и $AD=41\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны: $CD=AB=20$ и $BC=AD=41\text{.}$ Все углы прямоугольника равны $90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ ($\angle B=90^{\circ }$). Так как $\angle EAB=45^{\circ }\text{,}$ то $\angle AEB=90^{\circ }-\angle EAB=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$

Следовательно, треугольник $ABE$ является равнобедренным, откуда $BE=AB=20\text{.}$

Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ поэтому $EC=BC-BE=41-20=21\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ ($\angle C=90^{\circ }$). По теореме Пифагора: $E{D}^2=E{C}^2+C{D}^2\text{.}$ $E{D}^2=21^2+20^2=441+400=841\text{.}$ $ED=\sqrt{841}=29\text{.}$

Ответ: 29.