Задача №10258 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

Сумма двух углов ромба равна 240^, а его меньшая диагональ равна 23. Найдите периметр ромба.

Пусть ABCD — данный ромб, в котором сумма двух углов равна 240^ . Сумма двух соседних углов ромба равна 180^ , поэтому данные два угла могут быть только противоположными. Так как их сумма больше 180^ , эти углы являются тупыми. Обозначим величину тупого угла ромба как alpha : 2alpha = 240^ => alpha = 120^. Следовательно, острый угол ромба равен: 180^ - 120^ = 60^. Пусть A = 60^ . Меньшая диагональ ромба BD соединяет вершины тупых углов. Рассмотрим треугольник ABD . В нём стороны AB = AD как стороны ромба, а угол между ними A = 60^ . Так как треугольник ABD равнобедренный с углом при вершине 60^ , он является равносторонним. Следовательно, сторона ромба равна длине меньшей диагонали: AB = AD = BD = 23. Периметр ромба равен сумме длин всех его четырёх сторон: P = 4 * AB = 4 * 23 = 92. Ответ: 92

92