Задача №10255

Пусть в прямоугольной трапеции основания равны $BC=5$ и $AD=9\text{.}$ Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, то есть $\angle A=\angle B=90^{\circ }\text{.}$

Один из углов равен $135^{\circ }\text{.}$ Так как углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, в сумме дают $180^{\circ }\text{,}$ тупой угол равен $\angle C=135^{\circ }\text{,}$ а острый угол равен:

$$\angle D=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }.$$

Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD\text{.}$ Четырёхугольник $ABCH$ является прямоугольником, поэтому:

$$AH=BC=5,$$ $$CH=AB.$$

Найдём отрезок $HD\text{:}$

$$HD=AD-AH=9-5=4.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD=90^{\circ }$). Так как $\angle D=45^{\circ }\text{,}$ то угол $\angle HCD=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\text{.}$ Следовательно, треугольник $CHD$ является равнобедренным, откуда:

$$CH=HD=4.$$

Меньшая боковая сторона трапеции равна её высоте, то есть $AB=CH=4\text{.}$

Ответ: 4