Задача №10252

Дано, что прямые $m$ и $n$ параллельны.

Рассмотрим секущие, пересекающие эти параллельные прямые:
1. Обозначим точку пересечения секущих на прямой $m$ как $A\text{.}$
2. Пусть первая (более крутая) секущая пересекает прямую $n$ в точке $B\text{,}$ а вторая (более пологая) секущая пересекает прямую $n$ в точке $C\text{.}$ Получается треугольник $ABC$ с вершиной $A$ на прямой $m\text{.}$

Из рисунка видно:

• Угол $1$ и угол, вертикальный углу между прямой $m$ и секущей $AB$ (или накрест лежащий с углом при вершине $B$), позволяют найти углы треугольника.
• Угол, накрест лежащий с углом $1\text{,}$ равен $22^{\circ }\text{.}$
• Нам известен угол $2\text{,}$ который равен $138^{\circ }\text{.}$ Этот угол является внешним для треугольника $ABC$ у вершины $C$ (или смежным с внутренним углом треугольника).
• Внутренний угол треугольника при вершине $C$ равен:

$$180^{\circ }-138^{\circ }=42^{\circ }.$$

• Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, угол между первой секущей $AB$ и прямой $n$ равен углу $1\text{,}$ то есть $22^{\circ }$ (соответственные углы).
• В треугольнике $ABC$ угол при вершине $B$ равен $22^{\circ }\text{.}$
• Внешний угол треугольника при вершине $C$ равен $138^{\circ }\text{.}$ По свойству внешнего угла треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle 2=\angle 3+\angle B,$$ $$138^{\circ }=\angle 3+22^{\circ },$$ $$\angle 3=138^{\circ }-22^{\circ }=116^{\circ }.$$

Ответ: $116^{\circ }\text{.}$