Задача №10250

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=16\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. По определению ромба все его стороны равны, следовательно, $AB=AD=16\text{.}$

2. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ откуда следует, что

3. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB=AD=16\text{,}$ следовательно, треугольник является равнобедренным. Поскольку угол при вершине $A$ равен $60^{\circ }\text{,}$ углы при основании $BD$ также равны:

4. Так как все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ данный треугольник является равносторонним. Таким образом, $BD=AB=16\text{.}$

Ответ: 16.