Задача №10249

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковые стороны равны: $AB=BC\text{.}$

Высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой угла $ABC\text{.}$

Следовательно, угол $ABK$ равен:

$$\angle ABK=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ ($\angle AKB=90^{\circ }$).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ поэтому:

$$\angle BAK=90^{\circ }-\angle ABK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике против угла в $30^{\circ }$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет $BK$ лежит против угла $BAK=30^{\circ }\text{,}$ значит:

$$BK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BK.$$

Так как по условию $BK=17\text{,}$ получаем:

$$AB=2\cdot 17=34.$$

Ответ: 34