Задача №10245

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ ромба $ABCD\text{.}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом $AOB\text{,}$ при этом:

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{21}}{2}=\sqrt{21}$$ $$BO=\frac{BD}{2}=\frac{4}{2}=2$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AOB$ найдём гипотенузу $AB\text{:}$

$$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}=\sqrt{(\sqrt{21}{)}^2+2^2}=\sqrt{21+4}=\sqrt{25}=5$$

Синус угла $BAC$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к гипотенузе $AB$ в прямоугольном треугольнике $AOB\text{:}$

$$\sin \angle BAC=\sin \angle BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{2}{5}=0,4$$

Ответ: $0,4$